求解积分∫[0,1]ln(1-x)/x dx

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/04/27 23:48:58
求解积分∫[0,1]ln(1-x)/x dx

求解积分∫[0,1]ln(1-x)/x dx
求解积分∫[0,1]ln(1-x)/x dx

求解积分∫[0,1]ln(1-x)/x dx
先将被积函数展开成幂级数,再逐项积分.
ln(1-x)=x+x²/2+x³/3+x^4/4+……
所以ln(1-x)/x=1+x/2+x²/3+x³/4+……
逐项积分得∫(0,1)ln(1-x)/x=1+1/2²+1/3²+1/4²+1/5²+……=π²/6

令x=tant,则A=∫[0,π/4] ln(1+tant) dt 再换元令t=π/4-u,所以∫[1,0][ln(1+x)/1+x^2]dx =(πln2) /8