在长方体ABCD—A1B1C1D1中,A1A=AB=2,若棱AB上存在一点P,使得D1P⊥PC,则棱AD的长的取值范围是

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 22:06:07
在长方体ABCD—A1B1C1D1中,A1A=AB=2,若棱AB上存在一点P,使得D1P⊥PC,则棱AD的长的取值范围是

在长方体ABCD—A1B1C1D1中,A1A=AB=2,若棱AB上存在一点P,使得D1P⊥PC,则棱AD的长的取值范围是
在长方体ABCD—A1B1C1D1中,A1A=AB=2,若棱AB上存在一点P,使得D1P⊥PC,则棱AD的长的取值范围是

在长方体ABCD—A1B1C1D1中,A1A=AB=2,若棱AB上存在一点P,使得D1P⊥PC,则棱AD的长的取值范围是
设AD1为x,AP为y,注明在式子2均为平方.
根据勾股定理很容易得到：
D1P2=AD12+AP2
AD12=AA12+AD2
CP2=AD2+(AB-AP)2
CD12=A1B12+AA12
因为D1P⊥PC
所以CD12=A1B12+AA12
最后把未知数和数值代入整理的
（y-1)2+x2=1
为中心在原点,半径为1 的圆长度不能为0
所以x的范围(0,1]

建立坐标系，
设AD=a（a＞0），AP=x（0＜x＜2），
则P（a，x，2），C（0，2，2），
∴D1P→=(a，x，2)，CP→=(a，x-2，0)，
∵D1P⊥PC，∴CP→•D1P→=0，
即a2+x（x-2）=0，a=-x2+2x=-(x-1)2+1，
当0＜x＜2时，a∈（0，1]．
故答案为：（0，1]．

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