lim（x趋近于0） {[e^(1/x)+1]/e^(1/x)-1] } arctan(1/x)可能分子分母看不大清楚,分子是[e^(1/x)]+1,分母是[e^(1/x)]-1,分子除以分母后乘以arctan(1/x).

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/05 00:36:47

$lim（x趋近于0） {[e^(1/x)+1]/e^(1/x)-1] } arctan(1/x)可能分子分母看不大清楚,分子是[e^(1/x)]+1,分母是[e^(1/x)]-1,分子除以分母后乘以arctan(1/x).$

lim（x趋近于0） {[e^(1/x)+1]/e^(1/x)-1] } arctan(1/x)可能分子分母看不大清楚,分子是[e^(1/x)]+1,分母是[e^(1/x)]-1,分子除以分母后乘以arctan(1/x).
lim（x趋近于0） {[e^(1/x)+1]/e^(1/x)-1] } arctan(1/x)
可能分子分母看不大清楚,分子是[e^(1/x)]+1,分母是[e^(1/x)]-1,分子除以分母后乘以arctan(1/x).

lim（x趋近于0） {[e^(1/x)+1]/e^(1/x)-1] } arctan(1/x)可能分子分母看不大清楚,分子是[e^(1/x)]+1,分母是[e^(1/x)]-1,分子除以分母后乘以arctan(1/x).
令t=1/x,则原式=lim（t趋于正无穷大） [e^t+1]/[e^t-1] }arctant
而lim（t趋于正无穷大）arctant=pi/2 (pi=3.1415926 打不出来没办法哈）
lim（t趋于正无穷大） [e^t+1]/[e^t-1] =1（用洛必达法则）
所以原式=pi/2
注：lim（x趋近于0）,x必须是趋于0正,如果是负的,答案也是负的了

全部展开

完整解如下：
令1/x=t ,t趋于无穷大，还要考虑是正无穷大还是负无穷大，因为他将影响 e^(1/x)和arctan(1/x)得值。再用洛必达法则和函数连续性。
1、当t趋于正无穷大时极限e^(1/x)为正无穷大，由罗比达法则得极限{[e^(1/x)+1]/e^(1/x)-1] }＝1，而极限arctan(1/x)＝0.5pi
此时极限{[e^(1/x)+1]/e^(1/x)-1] }arctan(1/x)＝0.5pi
2、当t趋于负无穷大时e^(1/x)=0，知极限{[e^(1/x)+1]/e^(1/x)-1] }＝－1，而极限arctan(1/x)＝-0.5pi
此时极限{[e^(1/x)+1]/e^(1/x)-1] }arctan(1/x)＝0.5pi
故极限x趋于0时极限{[e^(1/x)+1]/e^(1/x)-1] }arctan(1/x)＝0.5pi （唯一）

收起

pi/2 就是派/2
lim（x趋近于0） {[e^(1/x)+1]/e^(1/x)-1] } arctan(1/x)
＝lim {[e^(1/x)+1]/e^(1/x)-1] } *lim arctan(1/x) 另外一个人回答的对，这里要讨论一下。
=1*pi/2
=pi/2

分子e^(1/x)+1变成e^(1/x)-1+2，与分母化简为
1+2/e^(1/x)-1，x趋近于0，e^(1/x)-1趋向无穷，2/e^(1/x)-1趋向0，1+2/e^(1/x)-1趋向1
后项 arctan(1/x)，x趋近于0时，1/x趋向无穷，arctan(1/x)趋向正负派/2,
相乘后结果为正负派/2，与0的左右趋向有关

x趋近于0 lim(x+e^x)^1/x lim(sinx+e^x)^(1/x) x趋近于0 lim (e^(1/x))/x (x趋近于0-) lim (1 x)/【1-e^(-x)】趋近于0 lim（x趋近于0）（e^x-cosx-x）/√(1+x^2) -1 Lim [ (1+x)1/x －e] /x （ x趋近于0 ）求极限 lim x趋近于0 （e的x次方 -1）/x 为什么等于1 lim（x/sinx）x(趋近于0)为什么等于lim(cosx)x(趋近于0) lim(e^sin2x-e^sinx)/tanx,x趋近于0 lim[e^(2/x)-1]*x趋近于正无穷 lim( (sinx-x)/( (x-e^x+1)x ) ),x趋近于0,求极限? lim(x/(x+1))^x x趋近于无穷另为什么x趋近于0时lim(1+x/2)^1/x=e^1/2 lim x趋近于1 x^2趋近于1 证明极限是否存在,详细步骤lim|x|/x（x趋近于0）,lime^1/x（x趋近于0）,limsinx（x趋近于无穷） lim((1+x)^(1/x)/e))^(1/x) x趋近于0 Lim [ (1+x)^(1/x) -e] /x ( x趋近于0 lim tan x - sin x / x³ lim eˆ2x - 1 / xx趋近于0 X趋近于0 lim（e/（1+x）^1/x））^1/x当x趋近于0时