1-2/[1(1+2)]-3/[(1+2)(1+2+3)]-4/[(1+2+3)*(1+2+3+4)]……-10/[(1+2+3+4+5+6+7+8+9)(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10)]=?

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/02 21:11:19

1-2/[1*(1+2)]-3/[(1+2)*(1+2+3)]-4/[(1+2+3)*(1+2+3+4)]……-10/[(1+2+3+4+5+6+7+8+9)(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10)]=?
1-2/[1*(1+2)]-3/[(1+2)*(1+2+3)]-4/[(1+2+3)*(1+2+3+4)]……-10/[(1+2+3+4+5+6+7+8+9)(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10)]
=1-2/2*[1/1-1/(1+2)]-3/3*[1/(1+2)-1/(1+2+3)]-4/4*[1/(1+2+3)-1/(1+2+3+4)]-...-10/10*[1/(1+2+3+...+9)-1/(1+2+3+...+10)]
=1-1/1+1/(1+2)-1/(1+2)+1/(1+2+3)-1/(1+2+3)+1/(1+2+3+4)-...-1/(1+2+3+...+9)+1/(1+2+3+...+10)
=1/(1+2+3+...+10)
=1/[(1+10)*10/2]
=1/55.
一般地我们有以下公式:1/[n*(n+m)]=1/m*[1/n-1/(n+m)] (m≠0)

1/55

用拆项相消发。式子中的每一项都可以看成数列的其中一项，则通项公式为4/(n-1)n(n+1)，可以拆为2[1/(n-1)n-1/n(n+1)]，原式即可化为1-1+1/3-1/3+1/6-1/6+......-1/36+1/45-1/45+1/55=1/55

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1-2/[1*(1+2)]-3/[(1+2)*(1+2+3)]-4/[(1+2+3)*(1+2+3+4)]……-10/[(1+2+3+4+5+6+7+8+9)(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10)]
=1-2/2*[1/1-1/(1+2)]-3/3*[1/(1+2)-1/(1+2+3)]-4/4*[1/(1+2+3)-1/(1+2+3+4)]-...-10/10*[1/(1+2+3+...+9)-1/(1+2+3+...+10)]
=1-1/1+1/(1+2)-1/(1+2)+1/(1+2+3)-1/(1+2+3)+1/(1+2+3+4)-...-1/(1+2+3+...+9)+1/(1+2+3+...+10)
=1/(1+2+3+...+10)
=1/[(1+10)*10/2]
=1/55.

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用裂项相消发吧
式子中的每一项都正好满足第个n为
4/(n-1)n(n+1)
正好可以拆为2[1/(n-1)n-1/n(n+1)]，
所以用它重新写下原式就有
1-2/[1*(1+2)]-3/[(1+2)*(1+2+3)]-4/[(1+2+3)*(1+2+3+4)]……-10/[(1+2+3+4+5+6+7+8+9)(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10)]
=1-2/2*[1/1-1/(1+2)]-3/3*[1/(1+2)-1/(1+2+3)]-4/4*[1/(1+2+3)-1/(1+2+3+4)]-...-10/10*[1/(1+2+3+...+9)-1/(1+2+3+...+10)]
=1-1/1+1/(1+2)-1/(1+2)+1/(1+2+3)-1/(1+2+3)+1/(1+2+3+4)-...-1/(1+2+3+...+9)+1/(1+2+3+...+10)
=1/(1+2+3+...+10)
=1/[(1+10)*10/2]
=1/55

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-2/[1*(1+2)]-3/[(1+2)*(1+2+3)]-4/[(1+2+3)*(1+2+3+4)]……-10/[(1+2+3+4+5+6+7+8+9)(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10)]
=1-2/2*[1/1-1/(1+2)]-3/3*[1/(1+2)-1/(1+2+3)]-4/4*[1/(1+2+3)-1/(1+2+3+4)]-...-10/10*[1/(1+2+3+...+9)-1/(1+2+3+...+10)]
=1-1/1+1/(1+2)-1/(1+2)+1/(1+2+3)-1/(1+2+3)+1/(1+2+3+4)-...-1/(1+2+3+...+9)+1/(1+2+3+...+10)
=1/(1+2+3+...+10)
=1/[(1+10)*10/2]
=1/55.
就是这样的

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1/55