如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,BD⊥AC于点D,若E是BC的中点,ED的延长线交BA的延长线于点F,求证:AB:BC=DF:BF.

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/04/28 15:05:41
如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,BD⊥AC于点D,若E是BC的中点,ED的延长线交BA的延长线于点F,求证:AB:BC=DF:BF.

如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,BD⊥AC于点D,若E是BC的中点,ED的延长线交BA的延长线于点F,求证:AB:BC=DF:BF.
如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,BD⊥AC于点D,若E是BC的中点,ED的延长线交BA的延长线
于点F,求证:AB:BC=DF:BF.

如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,BD⊥AC于点D,若E是BC的中点,ED的延长线交BA的延长线于点F,求证:AB:BC=DF:BF.
证明,
因为BD垂直AC,所以三角形BCD是直角三角形.又E是BC中点,所以DE是斜边BC上的中线.因此BE=DE=CE,且角DCE=角CDE.
因为角FDA和角CDE是对顶角,所以角FDA=角CDE=角DCE
又角FBD=90-角DBC=角DCB,所以角FBD=角FDA
因此在三角形FDA和FBD中,角F是公用角,角FBD=角FDA,所以两个三角形相似.
因此DF:BF=AD:BD
在直角三角形ADB和直角三角形ABC中,角ABD=角ACB已经得证,所以两个三角形相似,
因此AD:DB=AB:BC
所以AB:BC=AD:DB=DF:BF