作业帮在△ABC中,点O是BC的中点,过点O的直线交AB,AC于不同的两点M,N,若AB=mAM,AC=nAN,求m+n的值AB,AM,AC,AN为向量,m,n为实数是交AB延长线与线段AC于MN两点
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/28 23:55:47
在△ABC中,点O是BC的中点,过点O的直线交AB,AC于不同的两点M,N,若AB=mAM,AC=nAN,求m+n的值AB,AM,AC,AN为向量,m,n为实数是交AB延长线与线段AC于MN两点
在△ABC中,点O是BC的中点,过点O的直线交AB,AC于不同的两点M,N,若AB=mAM,AC=nAN,求m+n的值
AB,AM,AC,AN为向量,m,n为实数
是交AB延长线与线段AC于MN两点
在△ABC中,点O是BC的中点,过点O的直线交AB,AC于不同的两点M,N,若AB=mAM,AC=nAN,求m+n的值AB,AM,AC,AN为向量,m,n为实数是交AB延长线与线段AC于MN两点
当M与N在BC的同一侧时m+n=1
当M与N不在BC的同一侧时m+n=2
做法是延长AO到D,使OD=AO,连结BD,CD就可以很容易看出.注意的是相交有两种不同情况,就是M与N可以在BC同侧也可以在异侧
过点O的直线交AB,AC于不同的两点M,N，是一条直线交AB与AC延长线于MN两点或交AB延长线与AC于MN两点，还是有两条直线
【向量法解答】
向量AO=AB+BO=AB+1/2BC
= AB+1/2*(AC-AB)= 1/2*（AB+AC）
=1/2*mAM+1/2*nAN……①
又因向量AO= AM+MO= AM+λMN
=AM+λ(AN-AM)
=(1-λ) AM +λAN……②
比较①②两式可知：1/2*m=(1-λ)，1/2*n=λ，
所以m+n=2...
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【向量法解答】
向量AO=AB+BO=AB+1/2BC
= AB+1/2*(AC-AB)= 1/2*（AB+AC）
=1/2*mAM+1/2*nAN……①
又因向量AO= AM+MO= AM+λMN
=AM+λ(AN-AM)
=(1-λ) AM +λAN……②
比较①②两式可知：1/2*m=(1-λ)，1/2*n=λ，
所以m+n=2(1-λ) +2λ=2.
本题是平面几何为背景的向量问题，这里用到了向量的两个基本结论，
一个是三角形底边中线向量与两腰向量之间关系，即：AO=1/2（AB+AC），
第二个是三点共线向量表示的充要条件，即M，O，N共线有：AO=λAM+μAN，
且λ+μ=1．应用这两个结论有：AO=1/2（AB+AC）=1/2（mAM+nAN），
比较系数得：λ=m/2,μ=n/2，所以m+n=2(λ+μ)=2．
【几何法解答】
延长AO至A'使AO=A'O，链接A'C交MN 于M'
三角形OBM 与三角形OCM'全等，BM= CM'
三角形NAM 与三角形NCM'相似，
NC/AN = CM'/AM
（AN-AC）/AN = (AB-AM)/AM
n-1 = 1-m
m+n = 2
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