如图,在等腰梯形ABCD中,对角线AC、BD互相垂直.该梯形的高与中位线有怎样的大小关系?为什么?

如图,在等腰梯形ABCD中,对角线AC、BD互相垂直.该梯形的高与中位线有怎样的大小关系?为什么?
如图,在等腰梯形ABCD中,对角线AC、BD互相垂直.该梯形的高与中位线有怎样的大小关系?为什么?

如图,在等腰梯形ABCD中,对角线AC、BD互相垂直.该梯形的高与中位线有怎样的大小关系?为什么?
设AD=x,BC=y,
由AB=CD,AC⊥BD,
∴AO=x√2/2,CO=y√2/2,
梯形面积=AC²/2,（1）
梯形面积=（x+y）×h/2（2）
由（1）S=[（x+y）²×（√2/2）²]/2=（x+y）²/4.
由（2）S=（x+y）×h/2,
（1）=（2）得：
（x+y）²/4=（x+y）h/2,
∴（x+y）/2=h,
由（x+y）/2是梯形中位线,
所以梯形中位线和高相等.

梯形的高=中位线长
过点D画DE∥AC交BC延长线于E,DF、AC交F
∵AC⊥BD∴∠BFC=90°
∵BD=AC
∴四边形ACED是平行四边形
∴DE=AC=BD,AD=CE
∴⊿BDE是等腰直角三角形
DF=½BE=½﹙BC＋AD﹚=中位线

相等。