若对任意实数x不等式x^2+2(1+k)x+3+k>0,恒成立,则k的取值范围

若对任意实数x不等式x^2+2(1+k)x+3+k>0,恒成立,则k的取值范围
若对任意实数x不等式x^2+2(1+k)x+3+k>0,恒成立,则k的取值范围

若对任意实数x不等式x^2+2(1+k)x+3+k>0,恒成立,则k的取值范围
原式转化为
[x+(1+k)]^2+3+k-(1+k)^2>0
不等式恒成立 则3+k-(1+k)^2>0
化简得:2-k-k^2>0
(k+2)(k-1)

对任意实数x不等式x^2+2(1+k)x+3+k>0,恒成立,
即二次函数与X轴无交点，故判别式小于0
4（1+K）^2-4(3+K)<0
解得-2

k<-2,k>1
要x^2+2(1+k)x+3+k>0,恒成立
则其最小值也大于0
当x=-b/2a=-2(1+k)/2=-(1+k)时，x^2+2(1+k)x+3+k取得最小值
∴（-(1+k)）^2-2(1+k)(1+k)+3+k>0
解方程得 k<-2且k>1