设椭圆的方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0),过右焦点且不与x轴垂直的直线与椭圆交于P,Q两点,若在椭圆的右准线上存在点R,使三角形PQR为正三角形,则椭圆离心率的取值范围是?

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 02:21:47
设椭圆的方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0),过右焦点且不与x轴垂直的直线与椭圆交于P,Q两点,若在椭圆的右准线上存在点R,使三角形PQR为正三角形,则椭圆离心率的取值范围是?

设椭圆的方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0),过右焦点且不与x轴垂直的直线与椭圆交于P,Q两点,若在椭圆的右准线上存在点R,使三角形PQR为正三角形,则椭圆离心率的取值范围是?
设椭圆的方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0),过右焦点且不与x轴垂直的直线与椭圆交于P,Q两点,
若在椭圆的右准线上存在点R,使三角形PQR为正三角形,则椭圆离心率的取值范围是?

设椭圆的方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0),过右焦点且不与x轴垂直的直线与椭圆交于P,Q两点,若在椭圆的右准线上存在点R,使三角形PQR为正三角形,则椭圆离心率的取值范围是?
分析：利用椭圆的定义,求出PQ的中点到准线的距离,再根据△PQR为正三角形,PQ是过左焦点F且与x轴不垂直的弦,构建不等式,即可求得椭圆离心率的范围．

设弦PQ的中点为M,过点P、M、Q分别作准线l的垂线,垂足为P'、M'、Q'则|MM'|=1/2（|PP'|+|QQ'|）=1/﹙2e﹚（|PF|+|QF|）=1/﹙2e﹚|PQ|
假设存在点R,使△PQR为正三角形,则由|RM|=√3/2|PQ|,且|MM'|＜|RM|
得：1/﹙2e﹚|PQ|＜√3/2|PQ|
∴1/﹙2e﹚＜√3/2
∴e＞√3/3
∴椭圆离心率e的取值范围是(√3/3,1)
故答案为：(√3/3,1)

点评：本题考查椭圆的几何性质,考查椭圆的定义,考查解不等式,属于基础题．

有疑问可以追问哦,.

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