△ABC,∠C=90°,CD⊥AB于D,作∠CDE=∠CDF=α,交AC于F,BC于E当α为何值,△DEF面积最大?并求最大面积.

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/03 06:41:00
△ABC,∠C=90°,CD⊥AB于D,作∠CDE=∠CDF=α,交AC于F,BC于E当α为何值,△DEF面积最大?并求最大面积.

△ABC,∠C=90°,CD⊥AB于D,作∠CDE=∠CDF=α,交AC于F,BC于E当α为何值,△DEF面积最大?并求最大面积.
△ABC,∠C=90°,CD⊥AB于D,作∠CDE=∠CDF=α,交AC于F,BC于E
当α为何值,△DEF面积最大?并求最大面积.

△ABC,∠C=90°,CD⊥AB于D,作∠CDE=∠CDF=α,交AC于F,BC于E当α为何值,△DEF面积最大?并求最大面积.
首先,由于△ABC是给定的,所以A,B,C,AB=c,BC=a,CA=b都是已知量.并且,容易知道CD=ab/c,∠DCB=∠A,∠ACD=∠B.
在△CDF中,根据正弦定理,知道DF/SinB=CD/Sin(α+B),即DF=CD*SinB/Sin(α+B)；
同理,在△CDE中,根据正弦定理,有DE=CD*SinA/Sin(α+A).
而我们知道,△DEF的面积为S=DE*DF*Sin2α/2,所以面积表达式为
S=CD*SinA/Sin(α+A)*CD*SinB/Sin(α+B)*Sin2α/2
=(a^2b^2/2c^2)*SinASinBSin2α/Sin(α+A)Sin(α+B)
=(a^2b^2/2c^2)*SinASinB*2SinαCosα/(SinαCosA+CosαSinA)(SinαCosB+CosαSinB)
=(a^2b^2/c^2)*1/(CotA+Cotα)(TanαCotB+1)
=(a^2b^2/c^2)*1/(CotATanαCotB+CotB+CotA+Cotα)
由于CotATanαCotB+Cotα≥2√(CotACotB)=2（因为A,B互余）,所以
(a^2b^2/c^2)*1/(CotATanαCotB+CotB+CotA+Cotα)
≤(a^2b^2/c^2)*1/(CotB+CotA+2).
等号成立当且仅当Tanα=Cotα,即α=45°.
考虑到CotA=b/a,CotB=a/b,所以最大面积也可写成
a^3b^3/c^2(a+b)^2.
因此结论是,当α=45°时,三角形的最大面积为a^3b^3/c^2(a+b)^2.

∵ CD=ab/c，∠DCB=∠A，∠ACD=∠B。
∴ 在△CDF中，DF/SinB=CD/Sin(α+B)，
即 DF=CD*SinB/Sin(α+B)；
同理，在△CDE中，DE=CD*SinA/Sin(α+A)。
∵ △DEF的面积为S=DE*DF*Sin2α/2，
∴ 面积表达式为：
S△=CD*SinA/Sin(α+A)*CD*Si...

全部展开

∵ CD=ab/c，∠DCB=∠A，∠ACD=∠B。
∴ 在△CDF中，DF/SinB=CD/Sin(α+B)，
即 DF=CD*SinB/Sin(α+B)；
同理，在△CDE中，DE=CD*SinA/Sin(α+A)。
∵ △DEF的面积为S=DE*DF*Sin2α/2，
∴ 面积表达式为：
S△=CD*SinA/Sin(α+A)*CD*SinB/Sin(α+B)*Sin2α/2
=(a^2b^2/2c^2)*SinASinBSin2α/Sin(α+A)Sin(α+B)
=(a^2b^2/2c^2)*SinASinB*2SinαCosα/(SinαCosA+CosαSinA)(SinαCosB+CosαSinB)
=(a^2b^2/c^2)*1/(CotA+Cotα)(TanαCotB+1)
=(a^2b^2/c^2)*1/(CotATanαCotB+CotB+CotA+Cotα)
由于CotATanαCotB+Cotα≥2√(CotACotB)=2（因为A，B互余），所以
(a^2b^2/c^2)*1/(CotATanαCotB+CotB+CotA+Cotα)
≤(a^2b^2/c^2)*1/(CotB+CotA+2).
等号成立当且仅当Tanα=Cotα，即α=45°。
考虑到CotA=b/a，CotB=a/b，
∴ △最大面积也可写成:
a^3b^3/c^2(a+b)^2。
∴ 当α=45°时，所求三角形的最大面积为:
a^3b^3/c^2(a+b)^2。

收起

如图△ABC是直角三角形,∠ABC=90°,CD⊥AB于D 在等腰Rt△ABC中,∠C=90°,D是斜边是AB上任一点,AE⊥CD于E,BF⊥CD交CD延长线于F,CH⊥AB于H,交AE于G. 在Rt△ABC中,∠C=90°,CD⊥AB于D,∠A=60°,CD=根号3 ,求AB. △ABC中,∠C=90°,CD⊥AB于点D,AC=3,BC=4,AB=5,则CD=? △ABC中,∠C=90°,CD⊥AB于点D,AC=3,BC=4,AB=5,则CD= △ABC中,∠C=90°,CD⊥AB于D,AC=5,BC=12,CD=60/13,则AB= 在Rt△ABC中,∠C=90°,CD⊥AB于点D,AB=13,CD=6,则AC+BC等于? 如图,在Rt△ABC中,若∠C=90°,CD⊥AB于D,AB=13,CD=6,则AC+BC等于? 在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=17,BC=8,CD⊥AB于点D,求AC,CD的长 在Rt△ABC中,∠C-90°,AB=41,AC=9,CD⊥AB于D,则CD=_______没图自己算 如图,在等腰Rt△ABC中,∠C=90°,D是斜边是AB上任一点,AE⊥CD于E,BF⊥CD交CD延长线于F,CH⊥AB于H 未完如图,在等腰Rt△ABC中,∠C=90°,D是斜边是AB上任一点,AE⊥CD于E,BF⊥CD交CD延长线于F,CH⊥AB于H,交AE于G. 在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=2∠A,CD⊥AB,交AB于D,若AB等于a,则CD=?在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=2∠A,CD⊥AB,交AB于D,若AB等于a,则CD=什么? 在Rt△ABC中,∠C=90°,CD⊥AB于D,求证：（1）AB²=AD²+DB²+2CD²在Rt△ABC中,∠C=90°,CD⊥AB于D,求证：（1）AB²=AD²+DB²+2CD²（2）CD²=AD*DB 已知,在△ABC中,∠C=90°,CD⊥AB于D,∠CAB的平分线交CD于E,交CB于F,FG⊥AB于G,求证：CEFG是菱形 △ABC中∠C=90°,CA=CB,CD⊥AB于D,CE平分∠BCD交AB于E,AF平分∠CAB交CD于F,交BC于G.求证:EF//BC 在RT三角形ABC中,∠C=90°,CD⊥AB于D,求证:AB²=AB²+DB²+2CD² 在△ABC中,∠ACB=90°,CD、CE三等分∠ACB于点E、D,CD⊥AB于D.求证AB=2BC 在△ABC中,∠C=90°,CA=CB,CD⊥AB于D,CE平分⊥BCD,交AB于E,AF平分∠CAD,交CD于F,求证:EF‖BCkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk!