已知函数f(x)=-x^3+ax^2+bx在区间(-2,1)内,当x= - 1时取得极小值,当x=2\3时取得极大值,(1)求函数的单调区间(2)求函数在[-2,1]上的最大值与最小值

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/01 10:17:37
已知函数f(x)=-x^3+ax^2+bx在区间(-2,1)内,当x= - 1时取得极小值,当x=2\3时取得极大值,(1)求函数的单调区间(2)求函数在[-2,1]上的最大值与最小值

已知函数f(x)=-x^3+ax^2+bx在区间(-2,1)内,当x= - 1时取得极小值,当x=2\3时取得极大值,(1)求函数的单调区间(2)求函数在[-2,1]上的最大值与最小值
已知函数f(x)=-x^3+ax^2+bx在区间(-2,1)内,当x= - 1时取得极小值,当x=2\3时取得极大值,(1)求函数的单调区间(2)求函数在[-2,1]上的最大值与最小值

已知函数f(x)=-x^3+ax^2+bx在区间(-2,1)内,当x= - 1时取得极小值,当x=2\3时取得极大值,(1)求函数的单调区间(2)求函数在[-2,1]上的最大值与最小值
已知函数f(x)=-x³+ax²+bx在区间(-2,1)内,当x= - 1时取得极小值,当x=2/3时取得极大值;(1)求函数的单调区间;(2)求函数在[-2,1]上的最大值与最小值.
f'(x)=-3x²+2ax+b;已知:
f'(-1)=-3-2a+b=0.(1)
f'(2/3)=-4/3+4a/3+b=0.(2)
(2)-(1)得5/3+10a/3=0,故a=-1/2;b=2a+3=-1+3=2;
故f(x)=-x³-(1/2)x²+2x
f'(x)=-3x²-x+2=-(3x²+x-2)=-(3x-2)(x+1)=-3(x-2/3)(x+1)
f(x)在R上的单调性:
当x∈(-∞,-1]∪[2/3,+∞)时f(x)单调减;当x∈[-1,2/3]时单调增.
在[-2,1]上,f(x)的最大值=f(2/3)=-8/27-2/9+4/3=(-8-6+36)/27=22/27;
f(x)的最小值=f(-1)=1-1/2-2=-3/2.
f(x)在区间(-2,1)内的单调性:
f(x)在(-2,-1]∪[2/3,1)内单调减;在区间[-1,2/3)内单调增.

先对原函数求导得f'(x)=-3x^2+2ax+b,
由于函数在-1和2/3取得极值,所以-1和2/3是导函数的两个根,代入可求得a=-1/2, b=2
所以f'(x)=-3x^2-x+2,在区间(-2,1)内画出导函数图象,
(1)易知在区间(-2,-1)和区间(2/3,1)上导函数值小于零,
在区间(-1,2/3)上导函数值大于零,所以函数的单增区间是(-1,2...

全部展开

先对原函数求导得f'(x)=-3x^2+2ax+b,
由于函数在-1和2/3取得极值,所以-1和2/3是导函数的两个根,代入可求得a=-1/2, b=2
所以f'(x)=-3x^2-x+2,在区间(-2,1)内画出导函数图象,
(1)易知在区间(-2,-1)和区间(2/3,1)上导函数值小于零,
在区间(-1,2/3)上导函数值大于零,所以函数的单增区间是(-1,2/3)
单减区间是(-2,-1)和(2/3,1)
(2)导函数f'(x)为二次函数,只有两个零点,
因此原函数只有一个极大值和一个极小值,即最大值和最小值且在x=-1和x=2/3时取得
所以最大值f(2/3)=22/27 最小值f(-1)=-3/2

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