作业帮已知a>0,b>0 3a+b=2求9a^2+b^2+根号ab的最小值
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/28 15:38:12
已知a>0,b>0 3a+b=2求9a^2+b^2+根号ab的最小值
已知a>0,b>0 3a+b=2求9a^2+b^2+根号ab的最小值
已知a>0,b>0 3a+b=2求9a^2+b^2+根号ab的最小值
∵（3a-b）²≥0
∴9a²+b²-6ab≥0
∵9a²+b²+6ab=4,9a²+b²=4-6ab代入上式可得：
4-6ab-6ab≥0
解得：ab≤1/3,√ab≤√3/3
9a²+b²+√（ab）
=（9a²+b²+6ab）-6ab+√（ab）
=（3a+b）²-6ab+√（ab）
=4-6ab+√（ab）
设√（ab）=t【t∈（0,√3/3]】,则
9a²+b²+√（ab）
=4-（6t²-t）
要求4-（6t²-t）的最小值,只要求（6t²-t）的最大值,即
结合二次函数图像可知,在（0,√3/3]上,当t=√3/3时,取得最大值,即
9a²+b²+√（ab）的最小值为：4-【6x（√3/3)²-√3/3】=2+√3/3
9a²+b²=(3a+b)²-6ab=4-6ab
2=3a+b≥√(3ab)……[均值不等式], 可得√(ab)≤2/√3（当且仅当a=1/3，b=1时取等）
令t=√(ab),(0＜t≤2/√3)
原式=4-6ab+√(ab
令f（x）=-6t²+t+4
对称轴：t=1/12
f（x）min=f（2/√3）...
全部展开
9a²+b²=(3a+b)²-6ab=4-6ab
2=3a+b≥√(3ab)……[均值不等式], 可得√(ab)≤2/√3（当且仅当a=1/3，b=1时取等）
令t=√(ab),(0＜t≤2/√3)
原式=4-6ab+√(ab
令f（x）=-6t²+t+4
对称轴：t=1/12
f（x）min=f（2/√3）=-8+4+2/√3=-4+2√3/3
∴原式最小值为=-4+2√3/3
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