设二次函数f(x)=ax^2+bx+c(a不等于零,a、b、c属于R),且f(1)=-a/2,a＞2c＞b,证明f(x)=0至少有一个实根在区间（0,2）内

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/03 07:17:18
设二次函数f(x)=ax^2+bx+c(a不等于零,a、b、c属于R),且f(1)=-a/2,a＞2c＞b,证明f(x)=0至少有一个实根在区间（0,2）内

设二次函数f(x)=ax^2+bx+c(a不等于零,a、b、c属于R),且f(1)=-a/2,a＞2c＞b,证明f(x)=0至少有一个实根在区间（0,2）内
设二次函数f(x)=ax^2+bx+c(a不等于零,a、b、c属于R),且f(1)=-a/2,a＞2c＞b,证明f(x)=0至少有一个实根
在区间（0,2）内

设二次函数f(x)=ax^2+bx+c(a不等于零,a、b、c属于R),且f(1)=-a/2,a＞2c＞b,证明f(x)=0至少有一个实根在区间（0,2）内
f(1) = a+b+c = -a/2 ,推出 b+c = -3a/2
∵ a>2c>b
∴ -3a/2 = b+c ＜ a+a/2 = 3a/2 ,推出 a ＞ 0;
又 -3a/2 = b+c ＞ b+b/2 = 3b/2 ,推出 b ＜ -a ＜0;
c = -3a/2-b ＞-3c-b ,推出 c＞-b/4＞0;
∴ a,c为正,b为负.
证明：
∵ f(0) = c ＞0,f(1)=-a/2＜0
∴ f(0）=0至少有一个实根在区间（0,1）内,自然也就在(0,2)内.

由题意可知f(1)=a＋b＋c＝－a/2
∴3a＝－2（b＋c）
∵a＞2c＞b（a不等于零，a、b、c属于R）
∴a＞0 b＜0 c＜0
∴f(0)=c＜0 f(1)=4a＋2b＋c＞0
由零点定理可知f(x)=0至少有一个实根

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