作业帮已知：如图,在四边形ABCD中AB//DC,角ABC=90度,点P是四边形外一点,PA=PD,PB=PC,求证：四边形ABCD是矩形
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/03 10:03:21
已知：如图,在四边形ABCD中AB//DC,角ABC=90度,点P是四边形外一点,PA=PD,PB=PC,求证：四边形ABCD是矩形
已知：如图,在四边形ABCD中AB//DC,角ABC=90度,点P是四边形外一点,PA=PD,PB=PC,求证：四边形ABCD是矩形
已知：如图,在四边形ABCD中AB//DC,角ABC=90度,点P是四边形外一点,PA=PD,PB=PC,求证：四边形ABCD是矩形
∵AB∥DC、∠ABC＝90°,∴∠DCB＝90°.
∵PA＝PD,∴∠PAD＝∠PDA.
∵AB∥DC,∴∠BAD＝180°－∠CDA,∴∠PAD＋∠BAD＝180°＋∠PDA－∠CDA,
∴∠PAB＝180°＋∠PDA－∠CDA.
∵PB＝PC,∴∠PBC＝∠PCB,又∠ABC＝∠DCA＝90°,∴∠PBA＝∠PCD.
∵PA＝PD、∠PBA＝∠PCD,∴△PAB、△PDC的外接圆是等圆,又PB＝PC,
∴∠PAB＝∠PDC,或∠PAB＝180°－∠PDC.
一、当∠PAB＝∠PDC时,
∵∠PAB＝180°＋∠PDA－∠CDA,∴∠PDC＝180°＋∠PDA－∠CDA,
∴∠PDA＋∠CDA＝180°＋∠PDA－∠CDA,∴2∠CDA＝180°,∴∠CDA＝90°.
由∠ABC＝∠DCB＝∠CDA＝90°,得：ABCD是矩形.
二、当∠PAB＝180°－∠PDC时,
∵∠PAB＝180°＋∠PDA－∠CDA,∴180°－∠PDC＝180°＋∠PDA－∠CDA,
∴－∠PDC＝∠PDA－∠CDA,∴－（∠PDA＋∠CDA）＝∠PDA－∠CDA,
∴－∠PDA＝∠PDA,∴∠PDA＝0°.这显然是不合理的,∴这种情况应舍去.
综上一、二所述,得：ABCD是矩形.
由题意知：点P在BC和AD的中垂线上。
由P作BC的垂线，交AD与E，由平行线的性质，E为AD中点
由P作AD的垂线，也交AD与E
如果∠ADC＞90°或∠ADC∠90°，两条中垂线只有一个交点E，即点P与点E 重合
与点P是四边形外一点矛盾
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由题意知：点P在BC和AD的中垂线上。
由P作BC的垂线，交AD与E，由平行线的性质，E为AD中点
由P作AD的垂线，也交AD与E
如果∠ADC＞90°或∠ADC∠90°，两条中垂线只有一个交点E，即点P与点E 重合
与点P是四边形外一点矛盾
只有当∠ADC=90°，两条中垂线完全重合，才能在四边形外找到符合条件的P点。
∴四边形ABCD是矩形。
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