椭圆C:x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的左右焦点为f1、f2,点p在椭圆上,且pf1垂直pf2,|pf1|=4/3,|pf2|=14/3.求(1)椭圆C的方程.(2)若直线l过圆x2+y2+4x-2y=0的圆心M,交椭圆C于A、B两点,且A、B关于点M对称,求直线l的方程.

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/04/29 05:08:52

椭圆C:x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的左右焦点为f1、f2,点p在椭圆上,且pf1垂直pf2,|pf1|=4/3,|pf2|=14/3.求(1)椭圆C的方程.(2)若直线l过圆x2+y2+4x-2y=0的圆心M,交椭圆C于A、B两点,且A、B关于点M对称,求直线l的方程.
椭圆C:x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的左右焦点为f1、f2,点p在椭圆上,且pf1垂直pf2,|pf1|=4/3,|pf2|=14/3.求(1)椭圆C的方程.(2)若直线l过圆x2+y2+4x-2y=0的圆心M,交椭圆C于A、B两点,且A、B关于点M对称,求直线l的方程.

椭圆C:x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的左右焦点为f1、f2,点p在椭圆上,且pf1垂直pf2,|pf1|=4/3,|pf2|=14/3.求(1)椭圆C的方程.(2)若直线l过圆x2+y2+4x-2y=0的圆心M,交椭圆C于A、B两点,且A、B关于点M对称,求直线l的方程.
解法一：
（Ⅰ）∵点P在椭圆C上
∴2a＝|PF1|＋|PF2|＝6,a＝3．
在Rt△PF1F2中,|F1F2|＝√（|PF2|^2－|PF1|^2）＝2√5
∴椭圆的半焦距c＝√5,从而b2＝a2－c2＝4
∴椭圆C的方程为x^2/9＋y^2/4＝1．
（Ⅱ）设A,B的坐标分别为（x1,y1）,（x2,y2）.
已知圆的方程为（x＋2）2＋（y－1）2＝5
∴圆心M的坐标为（－2,1）,从而可设直线l的方程为
y＝k（x＋2）＋1,代入椭圆C的方程得：
（4＋9k2）x2＋（36k2＋18k）x＋36k2＋36k－27＝0．
∵A,B关于点M对称
∴（x1＋x2）/2＝－（18k^2＋9k）/（4＋9k^2）＝－2,解得k＝8/9
∴直线l的方程为y＝（8/9）（x＋2）＋1,即8x－9y＋25＝0．
（经检验,所求直线方程符合题意.）
解法二：
（Ⅰ）同解法一.
（Ⅱ）已知圆的方程为（x＋2）2＋（y－1）2＝5
∴圆心M的坐标为（－2,1）.设A,B的坐标分别为（x1,y1）,（x2,y2）.
由题意x1≠x2且
x1^2/9＋y1^2/4＝1,①
x2^2/9＋y2^2/4＝1．②
由①－②得
（x1－x2）（x1＋x2）/9＋（y1－y2）（y1＋y2）/4＝0③
∵A,B关于点M对称
∴x1＋x2＝－4,y1＋y2＝2
代入③得（y1－y2）/（x1－x2）＝8/9,即直线l的斜率为8/9
∴直线l的方程为y－1＝（8/9）（x＋2）,即8x－9y＋25＝0．
（经检验,所求直线方程符合题意.）