已知数列an满足a1=1,a(n+1)=2an/(an)+2,n属于N*,写出前五项,并猜想通项公式an

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/04 09:56:59
已知数列an满足a1=1,a(n+1)=2an/(an)+2,n属于N*,写出前五项,并猜想通项公式an

已知数列an满足a1=1,a(n+1)=2an/(an)+2,n属于N*,写出前五项,并猜想通项公式an
已知数列an满足a1=1,a(n+1)=2an/(an)+2,n属于N*,写出前五项,并猜想通项公式an

已知数列an满足a1=1,a(n+1)=2an/(an)+2,n属于N*,写出前五项,并猜想通项公式an
前五项 a1=1=2/2 a2=2/3 a3= 2/4 a4=2/5 a5=2/6
an的通项公式 an = 2/(n+1)
进行通项公式猜想时可作如下处理:
由题目条件 a(n+1) = 2an/(an+2) 等式两边取倒数得 1/[a(n+1) = (an+2)/(2an) = an/(2an) + 2/(2an) = 1/2 + 1/an
所以,1/[a(n+1)] - 1/an = 1/2,
这就表明新构造了一个{1/an}的等差数列,其第n+1项是1/[a(n+1)],第n项是1/an,第n+1项与第n项之差是一个常数1/2
则这个新数列的公差是1/2,其首项是1/a1=1
所以1/an = 1/a1 + (n-1)*(1/2) = 1 +n/2 -1/2 = (n+1)/2
因此 an = 2/(n+1)
(注:以上叙述a后的数字和字母均是下标)

a1=1 a2=2/3 a3=1/2 a4=2/5 a5=1/6