求函数y=sinx-cosx+sinxcos,x∈[0,pai]的最大最小值

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/04 10:51:08

求函数y=sinx-cosx+sinxcos,x∈[0,pai]的最大最小值
求函数y=sinx-cosx+sinxcos,x∈[0,pai]的最大最小值

求函数y=sinx-cosx+sinxcos,x∈[0,pai]的最大最小值
设t=sinx-cosx=√2(sin(x-π/4)
∵ x∈[0,π]
∴t∈[-1,√2]
y=sinx-cosx+sinxcosx
=t+(1-t²)/2
=-0.5(t-1) ² +1
∴当t=1时,y取得最大值1,
∴当t=-1时,y的最小值-1.
说明：本题用到的数学方法是换元法和配方法,用到的核心数学知识是两角的和差公式,函数在闭区间上的最值.

x在[0,τ]之间时
sinx就在[0,1],cosx在[-1,1]
所以sinxcosx就在[-1,1]间,而 -cosx范围则是[-1,1]
所以Y最大是3,最小是0

设t=sinx-cosx=√2(sin(x-π/4)
∵ x∈[0,π]
∴t∈[-1, √2]
y=sinx-cosx+sinxcosx
=t+(1-t²)/2
=-0.5(t-1) ² +1
∴当t=1时,y取得最大值1,
∴当t=-1时, y的最小值-1