作业帮已知A,B,C为△ABC的三边长,且(根号A+根号B+根号C)的平方=3(根号AB +根号AC+根号BC),试说明△ABC是等边三角形
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/03 10:30:40
已知A,B,C为△ABC的三边长,且(根号A+根号B+根号C)的平方=3(根号AB +根号AC+根号BC),试说明△ABC是等边三角形
已知A,B,C为△ABC的三边长,且(根号A+根号B+根号C)的平方=3(根号AB +根号AC+根号BC),试说明△ABC是
等边三角形
已知A,B,C为△ABC的三边长,且(根号A+根号B+根号C)的平方=3(根号AB +根号AC+根号BC),试说明△ABC是等边三角形
∵(√a+ √b+√c)^2=3(√ab+√bc+√ca)
(√a)^2+(√b)^2+(√c)^2+2√ab+2√bc+2√ca-3√ab-3√bc-3√ca=0
(√a)^2+(√b)^2+(√c)^2-√ab-√bc-√ca=0
各项同乘以2,整理后得：
(√a-√b)^2+(√b-√c)^2+(√c-√a)^2=0
∵左边各项均为(+),各项正数之和为零,则每一项均为零,即：
(√a-√b)^2=0,(√b-√c)=0,(√c-√a)^2=0.
√a-√b=0,a=b；
√b-√c=0,b=c；
√c-√a=0,c=a.
∴a=b=c.
∴△ABC为等边三角形.
(根号A+根号B+根号C)的平方展开
化简为
A+B+C = (根号AB +根号AC+根号BC)
两边乘以2
化为
(根号A-根号B)的平方 + (根号B-根号C)的平方 + (根号C-根号A)的平方 = 0
所以等边
∵(√a+ √b+√c)^2=3(√ab+√bc+√ca)
∴(√a)^2+(√b)^2+(√c)^2+2√ab+2√bc+2√ca-3√ab-3√bc-3√ca=0
∴(√a)^2+(√b)^2+(√c)^2-√ab-√bc-√ca=0
∴2(√a)^2+2(√b)^2+2(√c)^2-2√ab-2√bc-2√ca=0
∴(√a-√b)^2+(√b-√c)^2+(...
全部展开
∵(√a+ √b+√c)^2=3(√ab+√bc+√ca)
∴(√a)^2+(√b)^2+(√c)^2+2√ab+2√bc+2√ca-3√ab-3√bc-3√ca=0
∴(√a)^2+(√b)^2+(√c)^2-√ab-√bc-√ca=0
∴2(√a)^2+2(√b)^2+2(√c)^2-2√ab-2√bc-2√ca=0
∴(√a-√b)^2+(√b-√c)^2+(√c-√a)^2=0
∵左边各项均为非负数,各项非负数之和为零，则每一项均为零，即：
(√a-√b)^2=0,(√b-√c)^2=0,(√c-√a)^2=0.
∴√a-√b=0,a=b；
√b-√c=0,b=c；
√c-√a=0,c=a。
∴a=b=c.
∴△ABC为等边三角形。
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