已知实数x、y满足x^2+y^2-2x-2y+1=0.则根号x^2+y^2的最小值和最大值是什么

已知实数x、y满足x^2+y^2-2x-2y+1=0.则根号x^2+y^2的最小值和最大值是什么
已知实数x、y满足x^2+y^2-2x-2y+1=0.则根号x^2+y^2的最小值和最大值是什么

已知实数x、y满足x^2+y^2-2x-2y+1=0.则根号x^2+y^2的最小值和最大值是什么
将式子x^2+y^2-2x-2y+1=0转化为（x-1）^2+(y-1)^2=1,所以我们就可以设x-1=cosθ
,y-1=sinθ.即x=1+ cosθ,y=1+ sinθ,然后x^2+y^2=3+sin2θ(运算过程这么简单不用我说了吧?)
所以就知道sin2θ=1时x^2+y^2取最大值为4,sin2θ=-1时x^2+y^2取最小值2.
上楼的思维方式也可以只是算错了,x^2+y^2表示的是到原点（0,0）距离的平方

由题设可知，该问题就是求圆:(x-1)²+(y-1)²=1上的点，到原点O(0,0)距离的最大最小。数形结合可知，大=1+√2，小=-1+√2.

∵x²+y²-2x-2y+1=0
==>(x-1)²+(y-1)²=1
∴设x=1+cosa，A=√(x²+y²)，则y=1+sina
于是，A=√[(1+cosa)²+(1+sina)²]
==>A²...

全部展开

∵x²+y²-2x-2y+1=0
==>(x-1)²+(y-1)²=1
∴设x=1+cosa，A=√(x²+y²)，则y=1+sina
于是，A=√[(1+cosa)²+(1+sina)²]
==>A²=3+2(cosa+sina)
==>cosa+sina=(A²-3)/2
==>cosa/√2+sina/√2=(A²-3)/(2√2)
==>cosacos(π/4)+sinasin(π/4)=(A²-3)/(2√2)
==>cos(a-π/4)=(A²-3)/(2√2)
∵│cos(a-π/4)│≤1
∴│(A²-3)/(2√2)│≤1
==>│A²-3│≤2√2
==>-2√2≤A²-3≤2√2
==>3-2√2≤A²≤3+2√2
==>(√2-1)²≤A²≤(√2+1)²
==>√2-1≤A≤√2+1
故√(x²+y²)的最小值是√2-1，最大值是√2+1。

收起