在数列{an}中,a1=1,an+1=（1+1/n）an+（n+1）∕2n 设bn=an/n,求证bn+1-bn=1/2^n bn的通项公式

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/08 15:21:14

$在数列{an}中,a1=1,an+1=（1+1/n）an+（n+1）∕2n 设bn=an/n,求证bn+1-bn=1/2^n bn的通项公式$

在数列{an}中,a1=1,an+1=（1+1/n）an+（n+1）∕2n 设bn=an/n,求证bn+1-bn=1/2^n bn的通项公式
在数列{an}中,a1=1,an+1=（1+1/n）an+（n+1）∕2n 设bn=an/n,求证bn+1-bn=1/2^n bn的通项公式

在数列{an}中,a1=1,an+1=（1+1/n）an+（n+1）∕2n 设bn=an/n,求证bn+1-bn=1/2^n bn的通项公式
an+1=（1+1/n）an+（n+1）∕2n
变形可得：a(n+1)/(n+1)-an/n=1/2^n
an/n-a(n-1)/(n-1)=1/2^(n-1)
.
a2/2-a1/1=1/2
等式两边累加可得：
an/n-a1/1=1/2+.+1/2^(n-1)
所以bn=an/n=a1/1+1/2+.+1/2^(n-1)=2-1/2^(n-1)(等比数列求和)
b(n+1)=1+1/2+.+1/2^(n-1)+1/2^n
b(n+1)-bn=(1/2)^n

an+1=（1+1/n）an+（n+1）∕2^n (这里是2的n次方吧)
a(n+1)/(n+1)-an/n=1/2^n
因bn=an/n 则b(n+1)=a(n+1)/(n+1) b1=a1/1=1
上式变为b(n+1)-bn=1/2^n
则bn-b(n-1)=1/2^(n-1)
....
b2-b1=1/2
叠加bn-b1=1/2+...

全部展开

收起

由a(n+1)=(1+1/n)an+(n+1)/2^n 两边同时除以n+1
可得a(n+1)/(n+1)=an/n+1/2^n 由bn=an/n
可得b(n+1)-bn=1/2^n
递推得bn-b(n-1)=1/2^(n-1)
b(n-1)-b(n-2)=1/2^(n-2)
....

全部展开

由a(n+1)=(1+1/n)an+(n+1)/2^n 两边同时除以n+1
可得a(n+1)/(n+1)=an/n+1/2^n 由bn=an/n
可得b(n+1)-bn=1/2^n
递推得bn-b(n-1)=1/2^(n-1)
b(n-1)-b(n-2)=1/2^(n-2)
.
.
b2-b1=1/2
以上各式累加的bn-b1=1/2+1/2^2+1/2^3.....+1/2^(n-1)=1/2*(1-1/2^(n-1))/(1-1/2)=1-1/2^(n-1)
b1=a1/1=1 带入上式得
bn=2-1/2^(n-1) 为所求数列通项。

收起

在数列an中,a1=1,an=3an-1+2则an= 在数列{an}中,a1=1,an+1=an/1+nan,求an 在数列{an}中,a1=1,an+1=an^2,求an. 在数列an中,a1=2 an+1=an+3n则an= 在数列an中,a1=2,且an+1=4an-2,求an 在数列{an}中,a1=3,An+1=an^2求an. 在数列an中,a1=0,an+1=2an+2,求an 数列题：在数列{an}中,a1=1,an+1=an/1+nan,求an 数列累加法在数列{an}中,a1=1,an=an-1+n 求an 在数列an中,已知a1=-1,(an+1)*an=(an+1)-an(n均为下标),则数列an的通项an= 在数列{an}中,a1=3,an=3an+1(an+1为下标）,则an=? 在数列{an}中,a1=1,an>0,an+1²=an²+4,则an= 在数列an中,a1=2,an+1=an/an+3,求an 麻烦讲得详细点在数列{an}中,a1=1/2,an=1-1/an-1,求a2012 在数列an中,a1=1,an+1+an=6n.则a17= 在数列an中,a1=1,an+1=3an+2 ,则通项公式是在数列an中 a1=1 an+1=3an+2^n 用两种方法在数列an中,a1=1,Sn=n²an,则an=