若a>0,b>0,2/a+3/b=4,求a+2b的最小值

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/04/30 02:02:51

若a>0,b>0,2/a+3/b=4,求a+2b的最小值
若a>0,b>0,2/a+3/b=4,求a+2b的最小值

若a>0,b>0,2/a+3/b=4,求a+2b的最小值
a+2b=1/4*(a+2b)*(2/a+3/b) 因为2/a+3/b=4
=1/4*(2+3a/b+4b/a+6)
a>0,b>0
由均值不等式
3a/b+4b/a>=2√(3a/b*4b/a)=4√3
当3a/b=4b/a取等号
b^2=3a^2/4
b=(√3/2)a,代入2/a+3/b=4
显然有正解
所以等号能取到
所以a+2b=1/4*(2+3a/b+4b/a+6)>=1/4(8+4√3)=2+√3
所以最小值=2+√3

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首先因为4=2/a+3/b>2/a,a>1/2,同理b>3/4
设S=a+2b,则S>1/2+2*3/4=2
2/a+3/b=4
3a+2b=4ab
2a+(a+2b)=4a(S-a)/2
2a+S=2aS-4a^2
4a^2-2aS+2a+S=0
4a^2-2(S-1)a+S=0
a为大于0的实数，所以S>0,且判别式=4(S-1)^2-16S>=0
S^2-2S+1-4S>=0
S^2-6S+1>=0
S>=3+2根号2，或S<=3-2根号2（因为小于2不合题意,舍去）
所以a+2b的最小值为3+2根号2

收起

当2b=a时a+2b=3最小，此时b=1,a=2,

由2/a+3/b=4,得：a=2/(4-3/b)=2b/(4b-3) (1)
设a+2b=k (2)
（1）代入（2）得：
k=2b/(4b-3)+2b 整理得：
（4b-3)k=2b+2b(4b-3)
化简得：
8b^2-(4+4k)b+3k=0 ...

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由2/a+3/b=4,得：a=2/(4-3/b)=2b/(4b-3) (1)
设a+2b=k (2)
（1）代入（2）得：
k=2b/(4b-3)+2b 整理得：
（4b-3)k=2b+2b(4b-3)
化简得：
8b^2-(4+4k)b+3k=0 (3)
(3)是关于的一元二次方程
判别式=（4+4k)^2-4*8*3k=16+32k+16k^2-96k=16k^2-64k+16

收起

若|2a-b|+(3b-2)平方=0,求1/2(a-b)+1/4(a+b)+(a+b)/3-(a+b)/6的值若ab不等于0,且3a=b,求代数式b/3a-(-b)/a-a/2b/(-b) 已知a&#+b&#+4a-2b+5=0 求a-b分之a+b a*a+b*b-2a+4b+5=0 求a-b 若(a+1)²+/b-3/=0,求(a+2b)²-(2a+b)(a-b)-2(a-b)(a+b)的值已知集合｛a,b/a,1｝={a^2,a+b,0}求a^1+b^2+a^3+b^4+.a^2009+b^2010的值化简求值：若a+3b=0,求a-2b/a+b 已知a*a+b*b-2a+4b+5=0,求2(a+b)(a-b)+(a-b)(a-b)-(6a*a*b-2a*b*b)/(2b)的值已知a*a+b*b+a-2b+5/4=0,求【a-b】/【a+b】的值若a^2+b^2+a-2b+5/4=0求a-b/a+b的值已知3a*a+ab-2b*b=0(a不等于0,b不等于0),求a/b-b/a-(a*a+b*b)/ab的值. 若实数a,b满足a*b-4*a-b+1=0求(a+1)*(b+2)的最小值若|a+b-1|+(a-b-3)^2=0,求3a^2(a^3b^2-2a)-4a(-a^2(b)^2若|a+b-1|+(a-b-3)^2=0,求3a^2(a^3b^2-2a)-4a((-a^2)乘b)^2的值若| 3b-3|+|2a-b-3 |=0,求5(2a-b)-2(6a-2b+2)+(4a -3b)的值若A=4A^3B B=3A^2B^2+2B 且A+B+C=0 求C的表达式若3a=b(b不等于0),求3a分之b—(-b)/a—2b分之a+-b分之2a的值设a、b为实数,集合A={a,b/a,1},B={a^2,a+b,0},若A=B,求a^2010+b^2011 已知|2a-b+1|+(3a+3/2b)^2=0求[b^2/a+b]/[(a/a-b-1)][(a-a^2/a-b)}