作业帮（a-1)+(a^2 -2)+(a^3 -3)+……+(a^n -n) 求和
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 08:47:07
（a-1)+(a^2 -2)+(a^3 -3)+……+(a^n -n) 求和
（a-1)+(a^2 -2)+(a^3 -3)+……+(a^n -n) 求和
（a-1)+(a^2 -2)+(a^3 -3)+……+(a^n -n) 求和
这是非特殊数列求和问题中的分组求和问题
思想：只要把非特殊数列分开成为特殊数列,然后分别进行求和就行了
Sn=（a-1)+(a^2 -2)+(a^3 -3)+……+(a^n -n)
首先分开成为数列{a^n}等比数列和{n}等差数列俩个特殊数列,这样的题型一般就只看通项
=a+a^2+a^3+……+a^n-(1+2+……+n)
此处深究等比数列球求和公式,中讨论公比q是否为1的问题.
1）当a=1时,等比数列原求和公式不能用了,分母为0了,所以
Sn=1+1+……+1-(1+2+……+n)=n-n(n+1)/2 (此处等差数列求和公式n* (a1+an)/2不说了)
2）当a≠1时,可以按原等比数列和等差数列正常求和
Sn=a(1-a^n)/(1-a)-n(n+1)/2
原式=a+a^2+a^3+……+a^n-(1+2+……+n)
1+2+……+n=n(n+1)/2
若a=1
则a+a^2+a^3+……+a^n=1+1+……1=n
若a≠1
则a+a^2+a^3+……+a^n=a(1-a^n)/(1-a)
综上
a=1,原式=(-n²+n)/2
a≠1,原式=a(1-a^n)/(1-a)-n(n+1)/2
分成两组求
第一组是a+a^2+a^3+……a^n
第二组是1+2+3+……n
Sn1=a+a^2+a^3+……a^n
aSn1=a^2+a^3+……a^n+a^n+1
Sn-aSn=a-a^n+1(a不等于1）
a=1时Sn1=n
Sn2=(1+n)n／2
所以Sn=a-a^n+1+(1+n)n／2
或=n+(1+n)n／2