如图,已知抛物线y=1/4x2-1/4(b 1)x b/4(b是实数且大于2)与如图,已知抛物线y=x2﹣(b+1)x+(b是实数且b＞2)与x轴的正半轴分别交于点A、B(点A位于点B的左侧),与y轴的正半轴交于点C．(1)点B的坐标为__________

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/01 16:27:24

如图,已知抛物线y=1/4x2-1/4(b 1)x b/4(b是实数且大于2)与如图,已知抛物线y=x2﹣(b+1)x+(b是实数且b＞2)与x轴的正半轴分别交于点A、B(点A位于点B的左侧),与y轴的正半轴交于点C．(1)点B的坐标为__________
如图,已知抛物线y=1/4x2-1/4(b 1)x b/4(b是实数且大于2)与
如图,已知抛物线y=x2﹣(b+1)x+(b是实数且b＞2)与x轴的正半轴分别交于点A、B(点A位于点B的左侧),与y轴的正半轴交于点C．
(1)点B的坐标为____________,点C的坐标为____________(用含b的代数式表示)；
(2)请你探索在第一象限内是否存在点P,使得四边形PCOB的面积等于2b,且△PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形?如果存在,求出点P的坐标；如果不存在,请说明理由；
(3)请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q,使得△QCO,△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似(全等可作相似的特殊情况)?如果存在,求出点Q的坐标；如果不存在,请说明理由．

如图,已知抛物线y=1/4x2-1/4(b 1)x b/4(b是实数且大于2)与如图,已知抛物线y=x2﹣(b+1)x+(b是实数且b＞2)与x轴的正半轴分别交于点A、B(点A位于点B的左侧),与y轴的正半轴交于点C．(1)点B的坐标为__________
(1)令y=0,即y=x2﹣(b+1)x+=0,
解得：x=1或b,
∵b是实数且b＞2,点A位于点B的左侧,
∴点B的坐标为(b,0),
令x=0,
解得：y=,
∴点C的坐标为(0,),
故答案为：(b,0),(0,)；
(2)存在,
假设存在这样的点P,使得四边形PCOB的面积等于2b,且△PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形．
设点P的坐标为(x,y),连接OP．
则S四边形POCB=S△PCO+S△POB=••x+•b•y=2b,
∴x+4y=16．
过P作PD⊥x轴,PE⊥y轴,垂足分别为D、E,
∴∠PEO=∠EOD=∠ODP=90°．
∴四边形PEOD是矩形．
∴∠EPO=90°．
∴∠EPC=∠DPB．
∴△PEC≌△PDB,∴PE=PD,即x=y．
由解得
由△PEC≌△PDB得EC=DB,即﹣=b﹣,
解得b=＞2符合题意．
∴P的坐标为(,)；
(3)假设存在这样的点Q,使得△QCO,△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似．
∵∠QAB=∠AOQ+∠AQO,
∴∠QAB＞∠AOQ,∠QAB＞∠AQO．
∴要使△QOA与△QAB相似,只能∠QAO=∠BAQ=90°,即QA⊥x轴．
∵b＞2,
∴AB＞OA,
∴∠Q0A＞∠ABQ．
∴只能∠AOQ=∠AQB．此时∠OQB=90°,
由QA⊥x轴知QA∥y轴．
∴∠COQ=∠OQA．
∴要使△QOA与△OQC相似,只能∠QCO=90°或∠OQC=90°．
(I)当∠OCQ=90°时,△CQO≌△QOA．
∴AQ=CO=．
由AQ=AQ2=OA•AB得：()2=b﹣1．
解得：b=8±4．
∵b＞2,
∴b=8+4．
∴点Q的坐标是(1,2+)．
(II)当∠OQC=90°时,△QCO∽△QOA,
∴=,即OQ2=OC•AQ．
又OQ2=OA•OB,
∴OC•AQ=OA•OB．即•AQ=1×b．
解得：AQ=4,此时b=17＞2符合题意,
∴点Q的坐标是(1,4)．
∴综上可知,存在点Q(1,2+)或Q(1,4),使得△QCO,△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似．