高等数学一道大题,谢谢大家!

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/04/24 16:15:41

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记 F=x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2-1,设切点 P(u,v,w),则
F'=2x/a^2,F'=2y/b^2,F'=2z/c^2,
在点 P(u,v,w) 的法向量为 {u/a^2,v/b^2,w/c^2},
过点P的切平面方程是
(u/a^2)(x-u)+(v/b^2)(y-v)+(w/c^2)(z-w)=0,
即 ux/a^2+vy/b^2+wz/c^2=u^2/a^2+v^2/b^2+w^2/c^2=1,
在三坐标轴的截距分别为 a^2/u,b^2/v,c^2/w,
所截四面体的体积 V= a^2*b^2*c^2/(6uvw),构造拉格朗日函数
L = a^2*b^2*c^2/(uvw)+k(u^2/a^2+v^2/b^2+w^2/c^2-1)
L'=0,a^2*b^2*c^2/(u^2*vw) = -2ku/a^2 ①
L'=0,a^2*b^2*c^2/(uv^2*w) = -2kv/b^2 ②
L'=0,a^2*b^2*c^2/(uvw^2) = -2kw/c^2 ③
L'=0,u^2/a^2+v^2/b^2+w^2/c^2 = 1 ④
①/②,得 u^2/v^2=a^2/b^2,同理,u^2/w^2=a^2/c^2,
代入④,得 u=a/√3,v=b/√3,w=c/√3.
则 V = √3abc/2,.

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