洛仑兹变换公式 是什么顺便告诉我一下如何用洛伦兹变换推导出光速不变.

洛仑兹变换公式 是什么顺便告诉我一下如何用洛伦兹变换推导出光速不变.
洛仑兹变换公式 是什么
顺便告诉我一下如何用洛伦兹变换推导出光速不变.

洛仑兹变换公式 是什么顺便告诉我一下如何用洛伦兹变换推导出光速不变.
这个是狭义相对论,证明如下：
狭义相对论公式及证明
单位 符号 单位 符号
坐标： m (x,y,z) 力： N F(f)
时间： s t(T) 质量:kg m(M)
位移： m r 动量:kg*m/s p(P)
速度： m/s v(u) 能量: J E
加速度： m/s^2 a 冲量：N*s I
长度： m l(L) 动能：J Ek
路程： m s(S) 势能：J Ep
角速度： rad/s ω 力矩：N*m M
角加速度:rad/s^2α 功率：W P
一：
牛顿力学（预备知识）
(一)：质点运动学基本公式：(1)v=dr/dt,r=r0+∫rdt
(2)a=dv/dt,v=v0+∫adt
(注：两式中左式为微分形式,右式为积分形式)
当v不变时,(1)表示匀速直线运动.
当a不变时,(2)表示匀变速直线运动.
只要知道质点的运动方程r=r(t),它的一切运动规律就可知了.
(二)：质点动力学：
(1)牛一：不受力的物体做匀速直线运动.
(2)牛二：物体加速度与合外力成正比与质量成反比.
F=ma=mdv/dt=dp/dt
(3)牛三：作用力与反作与力等大反向作用在同一直线上.
(4)万有引力：两质点间作用力与质量乘积成正比,与距离平方成反比.
F=GMm/r^2,G=6.67259*10^(-11)m^3/(kg*s^2)
动量定理：I=∫Fdt=p2-p1(合外力的冲量等于动量的变化)
动量守恒：合外力为零时,系统动量保持不变.
动能定理：W=∫Fds=Ek2-Ek1(合外力的功等于动能的变化)
机械能守恒：只有重力做功时,Ek1+Ep1=Ek2+Ep2
(注：牛顿力学的核心是牛二：F=ma,它是运动学与动力学的桥梁,我们的目的是知道物体的运动规律,即求解运动方程r=r(t),若知受力情况,根据牛二可得a,再根据运动学基本公式求之.同样,若知运动方程r=r(t),可根据运动学基本公式求a,再由牛二可知物体的受力情况.)
二：
狭义相对论力学：(注：γ=1/sqr(1-u^2/c^2),β=u/c,u为惯性系速度.)
(一)基本原理：(1)相对性原理：所有惯性系都是等价的.
(2)光速不变原理：真空中的光速是与惯性系无关的常数.
(此处先给出公式再给出证明)
(二)洛仑兹坐标变换：
X=γ(x-ut)
Y=y
Z=z
T=γ(t-ux/c^2)
(三)速度变换：
V(x)=(v(x)-u)/(1-v(x)u/c^2)
V(y)=v(y)/(γ(1-v(x)u/c^2))
V(z)=v(z)/(γ(1-v(x)u/c^2))
(四)尺缩效应：△L=△l/γ或dL=dl/γ
(五)钟慢效应：△t=γ△τ或dt=dτ/γ
(六)光的多普勒效应：ν(a)=sqr((1-β)/(1+β))ν(b)
(光源与探测器在一条直线上运动.)
(七)动量表达式：P=Mv=γmv,即M=γm.
(八)相对论力学基本方程：F=dP/dt
(九)质能方程：E=Mc^2
(十)能量动量关系：E^2=(E0)^2+P^2c^2
(注：在此用两种方法证明,一种在三维空间内进行,一种在四维时空中证明,实际上他们是等价的.)
三：
三维证明：
(一)由实验总结出的公理,无法证明.
(二)洛仑兹变换：
设(x,y,z,t)所在坐标系(A系)静止,(X,Y,Z,T)所在坐标系(B系)速度为u,且沿x轴正向.在A系原点处,x=0,B系中A原点的坐标为X=-uT,即X+uT=0.可令x=k(X+uT),(1).又因在惯性系内的各点位置是等价的,因此k是与u有关的常数(广义相对论中,由于时空弯曲,各点不再等价,因此k不再是常数.)同理,B系中的原点处有X=K(x-ut),由相对性原理知,两个惯性系等价,除速度反向外,两式应取相同的形式,即k=K.故有X=k(x-ut),(2).对于y,z,Y,Z皆与速度无关,可得Y=y,(3).Z=z(4).将(2)代入(1)可得：x=k^2(x-ut)+kuT,即T=kt+((1-k^2)/(ku))x,(5).(1)(2)(3)(4)(5)满足相对性原理,要确定k需用光速不变原理.当两系的原点重合时,由重合点发出一光信号,则对两系分别有x=ct,X=cT.代入(1)(2)式得：ct=kT(c+u),cT=kt(c-u).两式相乘消去t和T得：k=1/sqr(1-u^2/c^2)=γ.将γ反代入(2)(5)式得坐标变换：
X=γ(x-ut)
Y=y
Z=z
T=γ(t-ux/c^2)
(三)速度变换：
V(x)=dX/dT=γ(dx-ut)/(γ(dt-udx/c^2))
=(dx/dt-u)/(1-(dx/dt)u/c^2)
=(v(x)-u)/(1-v(x)u/c^2)
同理可得V(y),V(z)的表达式.
(四)尺缩效应：
B系中有一与x轴平行长l的细杆,则由X=γ(x-ut)得：△X=γ(△x-u△t),又△t=0(要同时测量两端的坐标),则△X=γ△x,即：△l=γ△L,△L=△l/γ
(五)钟慢效应：
由坐标变换的逆变换可知,t=γ(T+Xu/c^2),故△t=γ(△T+△Xu/c^2),又△X=0,(要在同地测量),故△t=γ△T.
(注：与坐标系相对静止的物体的长度、质量和时间间隔称固有长度、静止质量和固有时,是不随坐标变换而变的客观量.)
(六)光的多普勒效应：(注：声音的多普勒效应是：ν(a)=((u+v1)/(u-v2))ν(b).)
B系原点处一光源发出光信号,A系原点有一探测器,两系中分别有两个钟,当两系原点重合时,校准时钟开始计时.B系中光源频率为ν(b),波数为N,B系的钟测得的时间是△t(b),由钟慢效应可知,A△系中的钟测得的时间为△t(a)=γ△t(b),(1).探测器开始接收时刻为t1+x/c,最终时刻为t2+(x+v△t(a))/c,则△t(N)=(1+β)△t(a),(2).相对运动不影响光信号的波数,故光源发出的波数与探测器接收的波数相同,即ν(b)△t(b)=ν(a)△t(N),(3).由以上三式可得：ν(a)=sqr((1-β)/(1+β))ν(b).
(七)动量表达式:(注：dt=γdτ,此时,γ=1/sqr(1-v^2/c^2)因为对于动力学质点可选自身为参考系,β=v/c)
牛二在伽利略变换下,保持形势不变,即无论在那个惯性系内,牛二都成立,但在洛伦兹变换下,原本简洁的形式变得乱七八糟,因此有必要对牛顿定律进行修正,要求是在坐标变换下仍保持原有的简洁形式.
牛顿力学中,v=dr/dt,r在坐标变换下形式不变,（旧坐标系中为（x,y,z）新坐标系中为(X,Y,Z)）只要将分母替换为一个不变量（当然非固有时dτ莫属）就可以修正速度的概念了.即令V=dr/dτ=γdr/dt=γv为相对论速度.牛顿动量为p=mv,将v替换为V,可修正动量,即p=mV=γmv.定义M=γm(相对论质量)则p=Mv.这就是相对论力学的基本量：相对论动量.（注：我们一般不用相对论速度而是用牛顿速度来参与计算）
(八)相对论力学基本方程：
由相对论动量表达式可知：F=dp/dt,这是力的定义式,虽与牛二的形式完全一样,但内涵不一样.（相对论中质量是变量）
(九)质能方程：
Ek=∫Fdr=∫(dp/dt)*dr=∫dp*dr/dt=∫vdp=pv-∫pdv
=Mv^2-∫mv/sqr(1-v^2/c^2)dv=Mv^2+mc^2*sqr(1-v^2/c^2)-mc^2
=Mv^2+Mc^2(1-v^2/c^2)-mc^2
=Mc^2-mc^2
即E=Mc^2=Ek+mc^2
(十)能量动量关系：
E=Mc^2,p=Mv,γ=1/sqr(1-v^2/c^2),E0=mc^2,可得：E^2=(E0)^2+p^2c^2
四：
四维证明：
(一)公理,无法证明.
(二)坐标变换：由光速不变原理：dl=cdt,即dx^2+dy^2+dz^2+(icdt)^2=0在任意惯性系内都成立.定义dS为四维间隔,dS^2=dx^2+dy^2+dz^2+(icdt)^2,(1).则对光信号dS恒等于0,而对于任意两时空点的dS一般不为0.dS^2〉0称类空间隔,dS^2<0称类时间隔,dS^2=0称类光间隔.相对论原理要求（1）式在坐标变换下形式不变,因此（1）式中存在与坐标变换无关的不变量,dS^2dS^2光速不变原理要求光信号在坐标变换下dS是不变量.因此在两个原理的共同制约下,可得出一个重要的结论：dS是坐标变换下的不变量.
由数学的旋转变换公式有：（保持y,z轴不动,旋转x和ict轴）
X=xcosφ+(ict)sinφ
icT=-xsinφ+(ict)cosφ
Y=y
Z=z
当X=0时,x=ut,则0=utcosφ+ictsinφ
得：tanφ=iu/c,则cosφ=γ,sinφ=iuγ/c反代入上式得：
X=γ(x-ut)
Y=y
Z=z
T=γ(t-ux/c^2)
(三)(四)(五)(六)(八)(十)略.
(七)动量表达式及四维矢量：(注：γ=1/sqr(1-v^2/c^2),下式中dt=γdτ)
令r=(x,y,z,ict)则将v=dr/dt中的dt替换为dτ,V=dr/dτ称四维速度.
则V=(γv,icγ)γv为三维分量,v为三维速度,icγ为第四维分量.（以下同理）
四维动量：P=mV=(γmv,icγm)=(Mv,icM)
四维力：f=dP/dτ=γdP/dt=(γF,γicdM/dt)(F为三维力)
四维加速度：ω=/dτ=(γ^4a,γ^4iva/c)
则f=mdV/dτ=mω
(九)质能方程：
fV=mωV=m(γ^5va+i^2γ^5va)=0
故四维力与四维速度永远“垂直”,（类似于洛伦兹磁场力）
由fV=0得：γ^2mFv+γic(dM/dt)(icγm)=0(F,v为三维矢量,且Fv=dEk/dt(功率表达式))
故dEk/dt=c^2dM/dt即∫dEk=c^2∫dM,即:Ek=Mc^2-mc^2
故E=Mc^2=Ek+mc^2

F=qvB

为了解释迈克尔逊实验的零结果，1889年爱尔兰的物理学家菲兹杰若（G.Fitzgerald，1851-1901）提出了收缩假设。即：物质是由带电粒子组成，一根相对于以太静止的量杆的长度，将完全由量杆粒子间取得的静电平衡决定，而量杆相对于以太运动时，组成量杆的带电粒子将会产生磁场，从而改变这些粒子之间的距离。缩短的程度为l=l 0γ。892年，荷兰物理学家洛仑兹（H.A.Lorentz，1853—1...

全部展开

为了解释迈克尔逊实验的零结果，1889年爱尔兰的物理学家菲兹杰若（G.Fitzgerald，1851-1901）提出了收缩假设。即：物质是由带电粒子组成，一根相对于以太静止的量杆的长度，将完全由量杆粒子间取得的静电平衡决定，而量杆相对于以太运动时，组成量杆的带电粒子将会产生磁场，从而改变这些粒子之间的距离。缩短的程度为l=l 0γ。892年，荷兰物理学家洛仑兹（H.A.Lorentz，1853—1928）独立地提出了类似的收缩假设。他认为收缩是由于分子力引起的。由于物体的平移影响分子力，从而改变物体长度。他在推导
菲涅尔曳引系数时引进了一个纯数学形式的坐标变换，后被彭加勒称为洛仑兹变换：
Σ’系→Σ系 Σ系→Σ’系
x=γ(x’+vt’) x’=γ(x - vt)
y=y’ y’=y
z=z’ z’=z
t=γ(t’+vx’/c2) t’=γ(t-vx/c2)
洛仑兹变换其实已经可以导出狭义相对论的许多结论，但它的引进是不自然的，就如彭加勒批评的那样：“对每一个新的实验结果提出一种特殊假设的作法是不自然的。”尽管洛仑兹后来接受了批评，试图用一些“基本假设”来建立新的电动力学，但不成功。而彭加勒则已经敏锐地看到问题的所在，看出需要建立一种新的时空观来解释。这时爱因斯坦的狭义相对论应运而生。

收起