作业帮求幂级数 ∑（∞,n→0）(n+1)x^n的收敛域及和函数.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/23 16:54:32
求幂级数 ∑（∞,n→0）(n+1)x^n的收敛域及和函数.
求幂级数 ∑（∞,n→0）(n+1)x^n的收敛域及和函数.
求幂级数 ∑（∞,n→0）(n+1)x^n的收敛域及和函数.
先求收敛半径r=lim(n→∞) (n+1)/(n+2)=1
然后,
检验x=1,∑(n=0,∞) (n+1)明显发散
检验x=-1,∑(n=0,∞) (-1)^n*(n+1)明显发散
因此,收敛域为(-1,1)
令f(x)=∑(n=0,∞) (n+1)*x^n
在(-1,1)内,根据逐项积分：
∫(0,x) f(t) dt=∫(0,x) (∑(n=0,∞) (n+1)*t^n) dt=∑(n=0,∞) (∫(0,x) (n+1)*t^n) dt)
=∑(n=0,∞) (x^(n+1))
=x+x^2+……+x^n+……
=x/(1-x)
再根据逐项求导：
[∫(0,x) f(t) dt]'=[x/(1-x)]'
f(x)=(1-x+x)/(1-x)^2=1/(1-x)^2
因此,∑(n=0,∞) (n+1)*x^n=1/(1-x)^2,x∈(-1,1)
有不懂欢迎追问
x必需分开讨论x>=1时发散，0
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