求幂级数∑(∞,n=1)1/nx∧n的收敛域和函数

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/20 13:05:25
求幂级数∑(∞,n=1)1/nx∧n的收敛域和函数

求幂级数∑(∞,n=1)1/nx∧n的收敛域和函数
求幂级数∑(∞,n=1)1/nx∧n的收敛域和函数

求幂级数∑(∞,n=1)1/nx∧n的收敛域和函数
用柯西判别法可以判断收敛半径为1,另外在1处显然发散,在-1处为莱布尼茨型级数显然收敛,所以收敛域为[-1,1),令S=∑(∞,n=1)1/nx∧n,则S ′=∑(∞,n=1)x∧(n-1)=1/(1-x)
所以S=∫1/(1-x)dx=-ln(1-x)+C,由S(0)=0可知C=0,
所以S=-ln(1-x)(端点-1处的值利用幂级数的连续性可知也满足这个式子)