用向量法证明:cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/03/29 20:53:52
用向量法证明:cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ

用向量法证明:cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
用向量法证明:cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ

用向量法证明:cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
在平面直角坐标系xoy内作单位圆O,
以Ox为始边作角α,β,它们的终边与单位圆O
的交点分别为A,B.
则OA®=(cosα,sinα),OB®=(cosβ,sinβ).
由向量数量积的坐标表示,
有OA®·OB®=cosαcosβ+sinαsinβ.
因α、β是任意角,α-β也是任意角,但总可找到一个角∈〔(0,2π)〕,使cosθ=cos(α-β).
由向量数量积的概念,有OA®·OB®=|OA®|·|OB®|cos(α-β)=cos(α-β).
若θ∈〔0,π〕,则OA®·OB®=cosθ=cos(α-β);
若θ∈〔(π,2π)〕,则2π-θ∈〔(0,π)〕,
且OA®·OB®=cos(2π-θ)=cosθ=cos(α-β).
于是,对于任意角α,β都有 cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ ┉ (1)

证明 :以坐标原点为中心作单位圆,以Ox为始边作角α、β,它们的终边分别与单位圆交于点P、Q,则P(cosα,sinα),Q(cosβ,sinβ),|OP|=|OQ|=1
则α-β=±〈OP,OQ〉+2kπ
因为OP* OQ=(cosα,sinα)·(cosβ,sinβ)=cosacosb+sinasinb
OP* OQ=|OP|*|OQ|cos〈OP*OQ〉=cos...

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证明 :以坐标原点为中心作单位圆,以Ox为始边作角α、β,它们的终边分别与单位圆交于点P、Q,则P(cosα,sinα),Q(cosβ,sinβ),|OP|=|OQ|=1
则α-β=±〈OP,OQ〉+2kπ
因为OP* OQ=(cosα,sinα)·(cosβ,sinβ)=cosacosb+sinasinb
OP* OQ=|OP|*|OQ|cos〈OP*OQ〉=cos(a-b)=cosacosb+sinasinb
所以cos(a-b)=cosacosb+sinasinb

收起

http://www.pep.com.cn/gzsx/jszx/xkbsyjc/dzkb/bx4/200412/t20041208_140090.htm