若E+A可逆,怎么证明(E-A)(E+A)^(-1)=(E+A)^(-1)(E-A)

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/03/29 13:02:29
若E+A可逆,怎么证明(E-A)(E+A)^(-1)=(E+A)^(-1)(E-A)

若E+A可逆,怎么证明(E-A)(E+A)^(-1)=(E+A)^(-1)(E-A)
若E+A可逆,怎么证明(E-A)(E+A)^(-1)=(E+A)^(-1)(E-A)

若E+A可逆,怎么证明(E-A)(E+A)^(-1)=(E+A)^(-1)(E-A)
先证(E+A)(E-A)=(E-A)(E+A)
这个只要两边同时打开就可以
左边=E-E*A+A*E-A*A=E-A*A
右边=E-A*E+E*A-A*A=E-A*A
所以(E+A)(E-A)=(E-A)(E+A)
而E+A 可逆
所以先左乘 (E+A)^(-1)
(E+A)^(-1)*(E+A)(E-A)= (E+A)^(-1)*(E-A)(E+A)
就是E-A=(E+A)^(-1)*(E-A)(E+A)
在右乘 (E+A)^(-1)
(E-A)*(E+A)^(-1)=(E+A)^(-1)*(E-A)(E+A)*(E+A)^(-1)
就是(E-A)(E+A)^(-1)=(E+A)^(-1)(E-A)
得证

因为(E+A)(E-A)=E²-A²=(E-A)(E+A). (E和A可交换)
两边左乘(E+A)^(-1)得(E-A)=(E+A)^(-1)(E-A)(E+A).
再右乘(E+A)^(-1)即得(E-A)(E+A)^(-1)=(E+A)^(-1)(E-A).

等式同时左乘(E+A),在右乘(E+A),结果都为E^2-A^2。逆推可证。

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