作业帮2009被分成了若干个不相等的自然数的和,并且使这些自然数的积最大,则这些自然数中有多少个完全平方数?如果把2009改成任意自然数,又该如何解?
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/20 21:07:30
2009被分成了若干个不相等的自然数的和,并且使这些自然数的积最大,则这些自然数中有多少个完全平方数?如果把2009改成任意自然数,又该如何解?
2009被分成了若干个不相等的自然数的和,并且使这些自然数的积最大,则这些自然数中有多少个完全平方数?
如果把2009改成任意自然数,又该如何解?
2009被分成了若干个不相等的自然数的和,并且使这些自然数的积最大,则这些自然数中有多少个完全平方数?如果把2009改成任意自然数,又该如何解?
只要分出的数大于等于2,都能为积作贡献,则使2009分成最多不同自然数的方案就是从2、3开始的连续自然数.设最多能分到N,则有
(2+N)(N-1)/2 ≤2009解得N最大=62,
2009最多只能分成61个不同自然数.
此时还有一个零头2009-(2+62)(62-1)/2=57.
要把57拆入2到62的后几个数中.
并且考虑到,若干数字之和恒定时,这些数越接近平均数,则乘积越大.
因此将57逐一拆入后57个数中.
至此,把2009拆成如下61个自然数：2到5,7到63.可使乘积最大.
其中完全平方数有2²到7²共6个.
换成任意自然数,原理相同.
我们记2009=A1+A2+...+An（1<=n<=2009)，
有均值不等式我们容易知道对于任意的Ai>=4,总有Ai<=Ai^/4(当且仅当Ai=Ai/2+Ai/2时取等号）
由于Ai的奇偶性不知道，若Ai为偶数，则取Ai=Ai/2+Ai/2,若Ai为奇数，则取Ai=(Ai+1)/2+(Ai-1)/2.
于是乎，我们无限的把得到的结果进行2等分，譬如Ak=Am+An,...
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我们记2009=A1+A2+...+An（1<=n<=2009)，
有均值不等式我们容易知道对于任意的Ai>=4,总有Ai<=Ai^/4(当且仅当Ai=Ai/2+Ai/2时取等号）
由于Ai的奇偶性不知道，若Ai为偶数，则取Ai=Ai/2+Ai/2,若Ai为奇数，则取Ai=(Ai+1)/2+(Ai-1)/2.
于是乎，我们无限的把得到的结果进行2等分，譬如Ak=Am+An,对于Am和An又分别有Am=A1+A2,
An=A3+A4(当然，A1.A2.A3.A4的取值均与Am与An的奇偶性有关）
显然不失一般性的有，在进行有限多次的2等分后。我们得到了2009=2+2+2+2+2+...+2+1（共1004个2与1个1）
然而，1*2<3，所以2009=2+2+2+...+2+3（1003个2与一个3）。
在上述过程中，我们有局部到整体，并考虑到了当Ai<4时的特殊情况，故这种划分方法是最大的。此时，原式之中，没有任何完全平方数.
PS:当为任意>4的整数时，我们的方法与上述完全类同，故不再赘述。
当<4时，直接可以观察出答案。
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